Pesquisa operacional para resolver problemas de otimização - SIMPLEX

 

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O método SIMPLEX é uma técnica amplamente utilizada em pesquisa operacional para resolver problemas de otimização linear, onde se busca maximizar ou minimizar uma função objetivo, sujeita a uma série de restrições lineares. A seguir, mostrarei os conceitos básicos, as principais variáveis envolvidas e os benefícios da aplicação desse método.

   Conceitos Básicos

1.  Otimização Linear: Refere-se à busca pela melhor solução (máxima ou mínima) de uma função linear, onde a relação entre variáveis é representada por equações ou inequações lineares.

2.  Função Objetivo: É a função que queremos maximizar ou minimizar. Por exemplo, maximizar o lucro ou minimizar os custos.

3.  Restrições: São limitações impostas ao problema, também expressas por equações ou inequações lineares. Estas restrições definem a região viável do problema, ou seja, o conjunto de soluções que satisfazem todas as condições propostas.

4.  Solução Viável: Uma solução que atende a todas as restrições do modelo.

5.  Solução Ótima: É a melhor solução entre todas as soluções viáveis, que fornece o melhor valor para a função objetivo.

   Principais Variáveis

-  Variáveis de Decisão: Representam as decisões que devem ser tomadas. No contexto de otimização, são as quantidades que influenciam a função objetivo e as restrições.

-  Variáveis Slack e Surplus: Variáveis auxiliares que permitem converter restrições de desigualdade em equações, ajudando a facilitar o processo de solução.

-  Tabela SIMPLEX: Um formato tabular utilizado para simplificar o processo de iteração do método. Cada linha representa uma restrição e a tabela é utilizada para calcular novos valores iterativamente.

   Benefícios da Aplicação do Método SIMPLEX

1.  Eficiência: O método SIMPLEX é conhecido por sua eficiência em resolver problemas com múltiplas variáveis e restrições. Embora nem sempre encontre a solução em tempo polinomial, na prática, ele se mostra bastante rápido para uma grande classe de problemas.

2.  Flexibilidade: Pode ser aplicado em diversas áreas, como logística, finanças, produção e planejamento, permitindo a modelagem de diferentes cenários de otimização.

3.  Solução de Problemas Complexos: Alcança soluções para problemas que envolvem muitas variáveis e restrições, que seriam difíceis de resolver de forma manual.

4.  Interpretação Gráfica: Embora o método opere em um espaço multidimensional, é possível visualizar problemas com duas ou três variáveis, ajudando a entender a solução e as relações entre as variáveis.

 5.  Ampla Aplicabilidade: Desde problemas simples até estratégias complexas em grandes organizações, o SIMPLEX pode ser utilizado para resolver questões como alocação de recursos, planejamento de produção e gestão de estoques.

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Vamos considerar um exemplo prático de aplicação do método SIMPLEX em um processo de manufatura, especificamente em uma fábrica que produz dois produtos:  Produto A e  Produto B . O objetivo é maximizar o lucro total, levando em consideração os recursos disponíveis.

   > Cenário - Dados do Problema:

-  Lucro por unidade:

  - Produto A: R$ 40

  - Produto B: R$ 30

-  Recursos disponíveis:

  - Tempo de máquina: 100 horas

  - Materiais: 120 unidades

  > Requisitos para produção:

-  Produto A: requer 2 horas de máquina e 3 unidades de material

-  Produto B: requer 1 hora de máquina e 2 unidades de material

 > Definição do Problema

1.  Função Objetivo: Quer-se maximizar o lucro total (Z): 

onde xA é o número de unidades do Produto A produzidas e xB é o número de unidades do Produto B produzidas.

> Restrições:

   - Tempo de máquina: 

   - Material:    

   - Não negatividade (condição compulsória para aplicação do modelo SIMPLEX): 

    

   > Montagem da Tabela SIMPLEX

Vamos agora montar a tabela do método SIMPLEX:

1.  Forma padrão: Precisa-se se reescrever as restrições na forma de igualdades, adicionando variáveis de folga (s1) e (s2):

   - Para a restrição de tempo de máquina: 

- Para a restrição de material: 

Aqui, s1 e s2 são as variáveis de folga.

 

2.  Tabela Inicial:

  > Iterações do SIMPLEX

1.  Identificação da coluna pivô: Escolhe-se a coluna com o coeficiente mais negativo na linha Z, que é xA (coeficiente -40).

2.  Cálculo do pivô: Determina-se qual linha deve sair, fazendo o cálculo da razão: 

   A linha s2 sairá, pois o valor de 40 é menor.

3.  Atualização da Tabela: Após realizar as operações necessárias para pivotar na variável xA, obtém-se uma nova tabela. O processo continua iterativamente até que não haja mais coeficientes negativos na linha Z, indicando que uma solução ótima foi encontrada.

   > Solução Ótima

Ao final do processo de iteração, digamos que a solução encontrada foi:

xA = 20

xB = 30

 > Cálculo do Lucro :

Substituindo na função objetivo: 

Através do método SIMPLEX, a fábrica deve produzir 20 unidades do Produto A e 30 unidades do Produto B para maximizar seu lucro total em R$ 1.700, respeitando as limitações de recurso (tempo de máquina e materiais). Este exemplo prático ilustra como o método SIMPLEX pode ser aplicado em um contexto de manufatura para otimização de recursos e maximização de lucros.

   Fechando....

O método SIMPLEX é uma ferramenta poderosa na pesquisa operacional, oferecendo uma abordagem estruturada e sistemática para resolver problemas de otimização linear. Seu entendimento e aplicação podem trazer vantagens significativas em termos de eficiência na tomada de decisões e na otimização dos recursos disponíveis, beneficiando diversas áreas do conhecimento e da indústria.

A Amancio Quality Consulting está à disposição para apoiar a sua empresa na aplicação do método SIMPLEX com foco à resolver problema(s) de otimização linear, onde se busca maximizar ou minimizar uma função objetivo. Fale conosco.

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